n-cubes

Il y a 2 semaines, je vous avais parlé du film Cube et de ses références mathématiques et physiques. Je vais aujourd'hui développer la notion de n-cube avec ses propriétés mathématiques.

 

Définition

En dimension 2, un carré est défini par 4 points: (0,0) (0,1) (1,0) et (1,1).

En dimension 3, un cube est défini par 8 points: (0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1).

De manière générale, en dimension n, chaque point est défini par n coordonnées prenant pour valeur 0 ou 1. Un n-cube contient donc 2^n points.

 

Voisins

Si on considère un sommêt S fixé (x1, ..., xn) et qu'in appelle voisin de S tout sommêt qui ne diffère de S que par une seule et unique coordonnée, alors chaque sommêt S possède n voisins.

Chaque sommêt d'un carré possède 2 voisins, d'un cube 3 voisins...

 

Arêtes, faces... 

Pour 1 sommêt S fixé, une arête est définie par la donnée d'1 voisin. Chaque sommêt possède n voisins donc n arêtes.

De plus il y a 2^n sommêts.

Enfin, chaque arête contenant 2 sommêts, le nombre total d'arêtes dans un n-cube est 1/2 * 2^n * n = n * 2^(n-1).

Ainsi il y a 4 arêtes dans un carré, 12 dans un cube.

 

Pour 1 sommêt S fixé, une face est définie par la donnée de 2 voisins, le 4è sommêt étant automatiquement fixé. Ainsi chaque sommêt appartient à C(n,2)= n! / (2! * (n-2)!) faces où n! = n * (n-1) * ... * 1 (appelé factorielle de n) et 0!=1.

Chaque face contenant 4 sommêts, le nombre total de faces dans un n-cube est 1/4 * 2^n * C(n,2) = C(n,2) * 2^(n-2).

Ainsi un cube possède 6 faces.

 

Généralisation

Dans un n-cube, je m'intéresse au nombre d'objets de dimension p. Pour chaque sommêt S fixé, je dois alors choisir p voisins parmi ses n pour déterminer 1 objet, soit C(n,p).

Il y a 2^n sommêts.

Chaque objet de dimension p contient 2^p sommêts, il faut donc diviser par ce nombre pour compter chaque objet qu'une seule fois.

Soit au final  1/(2^p) * 2^n * C(n,p) = C(n,p) * 2^(n-p) objets de dimension p dans un n-cube.

 

Pour le carré (n=2), il y a C(2,0) * 2^(2-0) =  4 sommêts, C(2,1) * 2^(2-1) = 4 arêtes et C(2,2) * 2^(2-2) = 1 seul carré.

Pour le cube (n=3), il y a C(3,0) * 2^(3-0) = 8 sommêts, C(3,1) * 2^(3-1) = 12 arêtes, C(3,2) * 2^(3-2) = 6 faces et C(3,3) * 2^(3-3) = 1 seul cube.

La formule marche à tous les coups!

 

Bons calculs!

Cube et dimensions supérieures

Les films
Récemment, j'ai visionné la trilogie Cube (Cube, Cube 2: hypercube, Cube 0) du réalisateur canadien Vincenzo Natali. En résumé, des gens sont enfermés dans un cube, et bougent de pièce en pièce afin de trouver la sortie. Malheureusement pour eux, certaines pièces sont mortellement piégées.
Le 1er film est une bonne introduction.
Le 2è développe le principe en incluant des notions mathématiques et physiques telles que les hypercubes, la gravité, l'espace-temps, la physique quantique...
Le 3è veut montrer ce qui se passe autour du cube, mais n'apporte rien d'intéressant selon moi.

Hypercubes et dimensions supérieures
Je vais revenir brièvement sur les hypercubes (appelés également tesseracts). Un hypercube est tout simplement un cube en dimension 4. Bien sûr, on ne peut pas les visualiser mentalement: le cerveau humain ne peut pas "voir" au-delà de 3 dimensions. Le lien que je vous donne est en réalité la projection d'un hypercube en mouvement dans notre monde en 3 dimensions.
Cependant, on peut imaginer les dimensions supérieures en se plaçant dans des dimensions inférieures.

Un exemple ludique est le jeu Paper Mario sur Wii: Mario est en 2 dimensions, tout comme le monde dans lequel il vit. Mario acquiert cependant un pouvoir: celui de basculer en 3 dimensions, ce qui lui offre de nouvelles possibilités. Il peut voir ce qu'il ne voyait pas avant. C'est très simple à comprendre avec la vidéo.

Un autre exemple classique est le roman Flatland écrit par Edwin Abbott (1884). Comme précédemment, les personnages de ce roman vivent en 2 dimensions. L'idée d'un monde en 3 dimensions est totalement inconcevable pour eux. Ils ne peuvent pas visualiser une sphère. Si une sphère traverse le plan dans lequel ils vivent, ils verront successivement: un point qui apparaît, un cercle qui grossit, puis diminue, et enfin un point qui disparait. Ce qui leur est alors incompréhensible: comment un point a pu apparaître de nulle part? Pour nous vivants en 3D, c'est tout à fait normal. Là encore, le film est explicite.

La conclusion, c'est que mathématiquement, on peut travailler avec des dimensions supérieures à 3, même si on ne peut pas les voir. Ces dimensions supérieures pourraient avoir une existence réelle!
Ce premier post était une introduction assez amusante, je développerais le concept d'hypersphère et d'hypercube dans des posts à suivre.