Blog de Jean-Marie Fayette - science

Hypersphère

noreply@ (Jean-Marie Fayette) — Wed, 09 Jul 2008 17:15:00 +0200

J'ai déjà posté 2 fois sur les hypercubes. Je vais terminer sur la notion d'hypersphère.

A l'école, vous apprenez ce qu'est un cercle dans le plan (2D): le cercle de centre O et de rayon R est l'ensemble des points situés à la distance R du point O. En notant x1 et x2 les coordonnées dans un repère orthonormal, l'équation du cercle s'écrit x1² + x2² = R².

De même, dans l'espace (3D) pour une sphère de centre 0 et de rayon R. Avec les coordonnées x1, x2, x3, l'équation s'écrit x1² + x2² + x3² = R².

On peut alors généraliser pour la dimension n. La n-sphère de centre O et de rayon R est l'ensemble des points dans l'espace de dimension n situés à la distance R de O. Avec les coordonnées x1, ..., xn l'équation de la n-sphère s'écrit tout simplement x1² + ... + xn² = R².

Les équations données ci-dessus sont très simples dans leur expression. Malheureusement, elles sont inutilisables si on veut calculer un périmètre (cercle 2D), une surface (cercle 2D, sphère 3D), un volume (sphère 3d, 4-sphère)...

Pour cela un changement de coordonnées est nécessaire: basculer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées sphériques. Dans ce nouveau système de coorodonnées, le premier paramètre est le rayon R, les autres sont des angles par rapport à un point de référence de la n-sphère. Ces angles respectent les propriétés suivantes:

x1 = R * cos(angle1)

x2 = R * sin(angle1) * cos(angle2)

x3 = R * sin(angle1) * sin(angle2) * cos(angle3)

...

xn = R * sin(angle1) * ... * sin(angle(n-1))

La difficulté consiste ensuite à déterminer le domaine de définition de chaque angle. En cas d'erreur, vous pouvez couvrir 2 fois votre n-sphère, ce qui fausse totalement les calculs de surface, de volume... Tous les angles vont de 0 à Pi, sauf le dernier qui va de 0 à 2Pi.

Les calculs de surface, volume font ensuite appel aux méthodes de calcul intégral: vous estimez une surface élémentaire avec des angles infiniment petits, et vous calculez la somme continue (intégrale) de ces surfaces élémentaires.

Ces choses sont là sont bien complexes, un bon niveau de terminale S minimum est requis.

Festival d'astronomie de Fleurance

noreply@ (Jean-Marie Fayette) — Fri, 04 Jul 2008 13:23:03 +0200

Une courte note pour vous signaler la tenue du 18è festival d'astronomie de Fleurance, dans le Gers.

Pour ceux qui en ont entendu parler, la manifestation se déroule sur le site de la Ferme des Etoiles.

Voici le programme.

Bon week-end.

Bricolage et observation

noreply@ (Jean-Marie Fayette) — Tue, 01 Jul 2008 17:31:00 +0200

Le défi

Construire une voiture filoguidée devant traverser un parcours déterminé. Voilà le défi auquel j'ai été confronté samedi après-midi. A disposition: 2 kits moteurs, des planches en bois, des fers à souder et autres pisto-colles...

Notre équipe commence par assembler les différents éléments du moteur avec une question importante: combien d'engrenages? Une fois la bonne configuration trouvée, nous passons au chassis. Voiture large, fine? Afin de faciliter les changements de direction, nous optons pour la 2è solution. La voiture se compose de 2 roues arrières, et d'une balle de ping-pong à l'avant, comme un Rover martien.

Chacune des 2 roues arrières est reliée à un moteur, indépendamment l'une de l'autre. Une fois ceci assemblé, il reste à construire la télécommande. Basiquement, elle est composée d'interrupteurs qui vont laisser passer le courant dans l'un des deux moteurs, ou les deux. Pour avancer, les 2 moteurs doivent tourner. Pour tourner à droite, seule la roue gauche doit être entrainée par son moteur. L'idée de base consiste alors à relier le pôle moins de la pile en permanence à une des 2 bornes pour chaque moteur. Le pôle plus est alors relié à l'autre borne de chaque moteur, avec possibilité de laisser passer le courant ou non.

Pour la marche arrière, il suffit d'inverser les pôles plus et moins, en utilisant un inverseur de polarité, ce que nous n'avons pas été capable de construire (OK la méga-honte)!

Après la conception et la réalisation, place aux essais. Les roues tournent bien dans le vide. Sur la piste, c'est autre chose. Ceci dit, elle a eu une bonne pointe de vitesse, et ça reste un bon souvenir et un bon moment de rigolade!

Observations nocturnes

Le soir, place à l'observation du ciel.

Les planètes: Mars et Saturne se trouvent dans le Lion, et sont visibles en début de nuit. Jupiter se trouve dans le Sagittaire et est visible une grande partie de la nuit, facilement depuis Lyon, en prime. Regardez en direction du Sud: si vous voyez un point brillant, c'est elle!

Les constellations: bien sûr le Scorpion avec sa supergéante rouge Antarès, et le triangle d'été composé des 3 étoiles Véga (Lyre), Deneb (Cygne) et Altair (Aigle).

Il y aura une soirée d'observation, début août, à l'occasion de la nuit des étoiles. J'en reparlerai, alors venez nombreux!

Voilà l'été!

noreply@ (Jean-Marie Fayette) — Sat, 21 Jun 2008 10:44:00 +0200

Tout est dans le titre.

Aujourd'hui, c'est le solstice d'été, ce qui signifie que le soleil va atteindre sa latitude la plus élevée dans l'année.

C'était ce matin à 0h59.

Si vous vous situez au niveau du Tropique du Cancer, vous pouvez alors observer le soleil au zénith, c'est à dire droit au-dessus de vos têtes.

Au nord de cette latitude, comme en France métropolitaine par exemple, c'est impossible. Même si aujourd'hui, le soleil sera au plus haut dans le ciel.

Ce phénomène de saisons astronomiques s'explique uniquement par l'inclinaison de l'axe de rotation de la Terre par rapport à son plan de révolution autour du soleil. Je l'avais déjà expliqué le jour de l'équinoxe de printemps.

Je ne vais pas m'étendre, bon été et bonnes vacances pour ceux qui en ont!

Festiciels

noreply@ (Jean-Marie Fayette) — Fri, 06 Jun 2008 09:02:00 +0200

Une courte note pour vous annoncer que les Festiciels ont lieu ce samedi, au parc de Miribel Jonage. C'est une manifestation grand public gratuite afin de découvrir le ciel et l'espace. Il y aura notamment une conférence de Guillaume Cannat intitulée Observer le ciel en amateur, organisée par le planétarium de Vaulx-en-Velin.

Plus de renseignements ici.

Bon week-end!

Conférence Planétarium

noreply@ (Jean-Marie Fayette) — Thu, 29 May 2008 12:10:00 +0200

Ce soir, à 20h, au planétarium de Vaulx-en-Velin (ligne C1 arrêt Hôtel de Ville):

La quête de la finesse

par Pierre Léna, professeur d'astrophysique à l'université Paris 7 et chercheur associé à l'observatoire de Paris

C'est également ce soir que Robert Marmoz paie l'apéro à ses lecteurs, à partir de 19h, au Dahu des pentes (angle de la rue Burdeau et de la grande côte). Voir le lien à gauche vers son blog.

Bonne soirée!

n-cubes

noreply@ (Jean-Marie Fayette) — Mon, 26 May 2008 17:13:00 +0200

Il y a 2 semaines, je vous avais parlé du film Cube et de ses références mathématiques et physiques. Je vais aujourd'hui développer la notion de n-cube avec ses propriétés mathématiques.

Définition

En dimension 2, un carré est défini par 4 points: (0,0) (0,1) (1,0) et (1,1).

En dimension 3, un cube est défini par 8 points: (0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1).

De manière générale, en dimension n, chaque point est défini par n coordonnées prenant pour valeur 0 ou 1. Un n-cube contient donc 2^n points.

Voisins

Si on considère un sommêt S fixé (x1, ..., xn) et qu'in appelle voisin de S tout sommêt qui ne diffère de S que par une seule et unique coordonnée, alors chaque sommêt S possède n voisins.

Chaque sommêt d'un carré possède 2 voisins, d'un cube 3 voisins...

Arêtes, faces...

Pour 1 sommêt S fixé, une arête est définie par la donnée d'1 voisin. Chaque sommêt possède n voisins donc n arêtes.

De plus il y a 2^n sommêts.

Enfin, chaque arête contenant 2 sommêts, le nombre total d'arêtes dans un n-cube est 1/2 * 2^n * n = n * 2^(n-1).

Ainsi il y a 4 arêtes dans un carré, 12 dans un cube.

Pour 1 sommêt S fixé, une face est définie par la donnée de 2 voisins, le 4è sommêt étant automatiquement fixé. Ainsi chaque sommêt appartient à C(n,2)= n! / (2! * (n-2)!) faces où n! = n * (n-1) * ... * 1 (appelé factorielle de n) et 0!=1.

Chaque face contenant 4 sommêts, le nombre total de faces dans un n-cube est 1/4 * 2^n * C(n,2) = C(n,2) * 2^(n-2).

Ainsi un cube possède 6 faces.

Généralisation

Dans un n-cube, je m'intéresse au nombre d'objets de dimension p. Pour chaque sommêt S fixé, je dois alors choisir p voisins parmi ses n pour déterminer 1 objet, soit C(n,p).

Il y a 2^n sommêts.

Chaque objet de dimension p contient 2^p sommêts, il faut donc diviser par ce nombre pour compter chaque objet qu'une seule fois.

Soit au final 1/(2^p) * 2^n * C(n,p) = C(n,p) * 2^(n-p) objets de dimension p dans un n-cube.

Pour le carré (n=2), il y a C(2,0) * 2^(2-0) = 4 sommêts, C(2,1) * 2^(2-1) = 4 arêtes et C(2,2) * 2^(2-2) = 1 seul carré.

Pour le cube (n=3), il y a C(3,0) * 2^(3-0) = 8 sommêts, C(3,1) * 2^(3-1) = 12 arêtes, C(3,2) * 2^(3-2) = 6 faces et C(3,3) * 2^(3-3) = 1 seul cube.

La formule marche à tous les coups!

Bons calculs!

Conférence Planétarium

noreply@ (Jean-Marie Fayette) — Thu, 15 May 2008 11:22:00 +0200

Ce soir, à 20h, au planétarium de Vaulx-en-Velin (ligne C1 arrêt Hôtel de Ville):

Nouvelles images du Ciel: la quête de la finesse avec MUSE
par Roland Bacon, astrophysicien et directeur de recherche au CNRS

Bonne conférence!

Conférence

noreply@ (Jean-Marie Fayette) — Wed, 16 Apr 2008 13:28:00 +0200

Ce soir, à 20h, le CALA (Club d'Astronomie de Lyon Ampère) organise la dernière conférence de son cycle:

L'ordinateur, un nouveau télescope pour comprendre l'Univers

Hervé Wozniak

Musée Guimet

2 rue Morellet

69006 Lyon

La conférence est gratuite. Il est recommandé d'arriver en avance, étant donné que le nombre de places est limité.

Sur ce, à ce soir.

Les couleurs de l'univers

noreply@ (Jean-Marie Fayette) — Sat, 12 Apr 2008 11:35:00 +0200

Jeudi soir, Yaël Nazé donnait une conférence au planétarium de Vaulx-en-Velin intitulée les couleurs de l'univers.

Elle avait déjà présentée cette conférence aux Rencontres du Ciel et de l'Espace, à Paris, en 2006.

La lumière visible

Reprenons la célèbre expérience de Newton de décomposition de la lumière blanche par un prisme. Pour les mélomanes, vous pouvez retrouver cette expérience sur la pochette de l'album The Dark Side of the Moon de Pink Floyd.

L'expérience consiste à faire passer la lumière du Soleil à travers un prisme qui va décomposer ses composantes du rouge au bleu. On observe ainsi que la lumière est une superposition de couleurs.

Le rayonnement électromagnétique

En fait, chaque couleur est une onde électromagnétique avec une fréquence propre.

Une onde est un phénomène périodique, à l'image d'une ola dans un stade. Lors d'une ola, vous observez une vague qui se propage dans le stade. Les gens se lèvent puis se rasseyent, mais ils ne changent pas de place; détail extrêmement important pour comprendre une onde.

Par exemple, le jaune a une fréquence comprise entre 500 et 550 térahertz. C'est la couleur à laquelle l'oeil humain est le plus réceptif.

Notre oeil peut voir les couleurs ayant une fréquence comprise entre 400 THz (rouge) et 790 Thz (violet). Pour reprendre l'image de la ola, le bleu serait une vague plus compacte que le rouge.

Au delà du visible

En dehors de ces fréquences, il y a toujours des ondes, même si elles sont invisibles pour nos yeux.

Par fréquence croissante, on trouve les ondes radio (qui sont donc "lumineuses" et pas "sonores"), les micro-ondes, les infrarouges, la lumière visible, les ultraviolets, les rayons X, et les rayons gamma. La liste est ici. Ceci dit, plus la fréquence est importante, plus l'énergie rayonnée est importante, ce qui est dangereux pour la santé.

Les mouches peuvent voir les ultraviolets, mais pas le rouge. Les serpents peuvent voir les infrarouges.

Quel intérêt?

Imaginez que vous ne pouviez voir que le jaune. Tout ce qui est rouge, vert, bleu... devient invisible pour vos yeux. En voyant d'autres couleurs, nous obtenons de nouvelles informations.

Les infrarouges informent sur la chaleur thermique par exemple. Les rayons X sont utilisés pour les radiographies: la peau ne les arrête pas.

Ainsi, la découverte des différents rayonnements a permis de voir (au sens intellectuel) ce qu'on ne pouvait pas voir avant.

Sur ce, bonne lecture!