Exercice de probabilité

Je vais vous donner le calcul de probabilité tant promis:

4 clubs anglais en 1/4 de finale de ligue des champions, probabilité qu'il y ait au moins 1 match 100% anglais.

C'est un problème de dénombrement, en général les élèves détestent ça. 

 

P(au moins 1 match 100% anglais) = 1 - P(pas de match 100% anglais)

P(1 match 100% anglais) = 1 - (#possibilités de quarts de finale sans affrontement) /(#possibilités totales)

 

#possibilités totales:

Il y a 8 équipes, donc 8! possibilités de les ranger.

Les matchs 1-2 ou 2-1 reviennent au même, il y a 4 1/4 de finale, donc il faut diviser par 2^4.

Ordonner les matchs 1-2 3-4 ou 3-4 1-2 n'a pas d'importance. Il y a 4! ordres possibles pour les 4 matchs.

Donc #possibilités totales = 8! / (4! * 2^4) = 105 quarts de finale possible.

 

La formule générale pour 2n équipes est 2n! / (n! * 2^n).

C'est facile de vérifier pour n=1, n=2 

 

#possibilités de quarts de finale sans affrontement:

Vous "fixez" les 4 équipes anglaises: il reste 4! = 24 possibilités de ranger les autres équipes.

 

Au final P = 1 - 24/105 = 81/105 = 77% de chances qu' au moins 2 clubs anglais sur les 4 se rencontrent en 1/4 de finale.

 

En réalité, je ne suis pas sûr de mon raisonnement, en particulier la partie dénombrement. Donc si certains veulent s'y coller, bonne chance à eux! 

 

Sur ce, à tout de suite!